Diagnostické pracovní listy se mi osvědčily jako funkční nástroj pro průběžné zjišťování žákovských znalostí, představ a miskoncepcí. Jsou-li navíc sestavovány dle Bloomovy taxonomie kognitivních cílů, umožňují učiteli odhalovat silné a slabé stránky v učivu všech výkonnostních skupin žáků. To je důležité, protože bez těchto informací můžeme jednu skupinu žáků zatěžovat typy úloh, ve kterých žáci systematicky selhávají, ačkoli v jiných typech úloh by zazářili, jiným žákům zase nedáváme adekvátní výzvy.
Sestavila jsem sadu osmi pracovních listů pro učivo desetinných čísel a ověřila jsem je v praxi, a to ve dvou 5. třídách s celkovým počtem 40 žáků. Třídy byly výkonově velice heterogenní, nacházeli se v nich žáci velmi šikovní i velmi slabí v matematice. Práce ve třídě probíhala tak, že žáci dostali pracovní list zadaný vždy jednou týdně (tedy v celkovém horizontu osmi týdnů), pracovali 20 minut samostatně a 20 minut se věnovalo společné kontrole postupů. Tato část byla klíčová pro učení, žáci v ní totiž zjišťovali své chyby a neefektivní postupy. Ukázalo se ale, že žáci nejsou na zpětnou vazbu zvyklí. Měli tendence během této doby unikat pozorností, někteří se dokonce bavili se spolužáky a vyrušovali tím ostatním. Neustále jsem žákům zdůrazňovala fakt, že právě nyní mají šanci se nejvíce naučit. Během celé intervence jsem zaznamenala mírné zlepšení, žáci postupem času více chápali, že ve zpětné vazbě mohou získávat užitečné informace, které lze použít později. V pracovních listech jsem totiž opakovaně zadávala stejné typy úloh. Ti žáci, kteří ve zpětné vazbě nedávali pozor, příště zopakovali stejnou chybu.
Žáci ve zmíněných třídách probírali desetinná čísla, proto jsou pracovní listy zaměřeny právě na toto učivo. Desetinná čísla nepatří k nejobtížnějším částem školské matematiky, přesto v sobě toto učivo skrývá velké množství nástrah, se kterými se každý učitel matematiky u svých žáků potýká. Ty nejběžnější a zároveň nejzávažnější se pojí k nepochopení samotného pojmu desetinného čísla, významu desetinné čárky, představy čísla a jeho umístění na číselné ose či uspořádání desetinných čísel podle velikosti.
Potíže žáků s desetinnými čísly často souvisí s pochopením zápisu desetinného čísla a tomu, co tento zápis vlastně vyjadřuje. Žáci si často přenášejí poznatky z přirozených čísel, které aplikují v učivu racionálních čísel (Resnick et al., 1989, Takker & Subramanian, 2019). Žáci se pro přirozená čísla učí různá pravidla, která se týkají operací s přirozenými čísly a relací, a která nevhodně přenášejí do učiva desetinných čísel. U sčítání desetinných čísel pod sebou se žáci často dopouštějí chyby, kdy zarovnávají čísla zprava, jak byli zvyklí z učiva přirozených čísel (Blažková, 2017, Rendl, Vondrová et al., 2013). Taková chyba svědčí o konceptuálním neporozumění pojmu desetinného čísla a nepochopení významu jednotlivých řádů čísla.
Jiná chyba, která souvisí s nepochopením zápisu desetinného čísla, se projevuje při porovnávání desetinných čísel. Často zmiňovanou chybou je přesvědčení žáků, že číslo s více desetinnými místy je větší, např. 3,214 je větší než 3,8, protože 214 je větší než 8 (Resnick et al., 1989, Steinle, 2004). Tato miskoncepce má různé variace, o výsledcích může rozhodovat přítomnost nuly v desetinném rozvoji a další jevy.
S porovnáváním desetinných čísel a určování jejich velkosti souvisí umísťování čísel na číselnou osu. Toto učivo bývá uváděno jako problematické (Steinle, 2004) a silně abstraktní (Rendl, Vondrová et al., 2013).
Chyba poukazující na konceptuální neporozumění pojmu je zaměňování desetinného čísla, např. 1,4, za zlomek, v tomto případě (Steinle, 2004).
Všechny z uvedených chyb (s výjimkou poslední, neboť zlomky nebyly obsahem pracovních listů) se v řešeních žáků objevily. Pracovní listy tedy plnily diagnostickou roli a vyučující si mohla vytvořit přehled o tom, kteří žáci mají mylně vybudovanou představu o desetinném čísle. Zároveň však bylo možné sledovat také to, kteří žáci zvládali spíše procedurálně zaměřené úlohy a kterým žákům vyhovovaly více konceptuální a logické úlohy. To bylo umožněno sestavením úloh podle Bloomovy taxonomie. Zajímavé bylo zjištění, že žáci, kteří se v hodinách projevují jako slabí, nezřídka obstáli v jednodušších logických úlohách, zatímco procedurálně laděné úlohy jim činily obtíže. Takové zjištění nás může navést na myšlenku, že i žák, který se v matematice jeví jako slabý, si může rozvíjet své logické a matematické myšlení, místo aby neustále opakoval početní úlohy stejného charakteru.
Bloomova taxonomie kognitivních cílů je rámec klasifikace toho, co očekáváme nebo zamýšlíme, že se žák naučí jakožto výsledek učebního působení. Revidovaná Bloomova taxonomie z roku 2001 má dvě dimenze: znalostní dimenzi a dimenzi kognitivního procesu.
Struktura znalostní dimenze v revidované Bloomově taxonomii je následující (Krathwohl, 2022, s. 214):
- Faktické znalosti – základní poznatky, které žák musí mít, aby vyřešil danou úlohu.
- Konceptuální znalosti – vzájemné vztahy mezi základními poznatky, uvnitř širší struktury, které umožní vzájemnou funkčnost poznatků.
- Procedurální znalosti – jak něco provést; metody provedení, kritéria pro použití dovedností, algoritmů, technik a metod.
- Metakognitivní znalosti – znalosti kognice obecně, znalosti svého vlastního poznávání.
Matematika je specifický předmět v tom smyslu, že procedurální fáze může u žáků přicházet dříve než konceptuální. Je běžné, že žák, který ještě nechápe pojem, který právě používá, a nevytvořil si žádnou kognitivní síť, která by tento pojem například pojila s pojmy dřívějšími, velice snadno řeší úlohy nápodobou algoritmu, který mu byl nabídnut učitelem. Žák může získat konceptuální znalosti na základě častého opakování úloh, kdy si začne uvědomovat určité souvislosti a napojovat nové znalosti na znalosti dřívější.
Struktura dimenze kognitivního procesu v revidované Bloomově taxonomii je následující (Krathwohl, 2002, s. 214):
- Zapamatovat si – vybavit si relevantní znalosti z dlouhodobé paměti.
- Pochopit – určení významu zadání, zahrnujícího ústní, písemnou a grafickou komunikaci.
- Aplikovat – provedení nebo použití určité procedury v dané situaci.
- Analyzovat – rozdělení zadání na jeho základní části a zjišťování, jak tyto části souvisí mezi sebou a s celkovou strukturou nebo účelem úlohy.
- Vyhodnotit – činit rozhodnutí na základě kritérií a standardů.
- Tvořit – dávat základní části dohromady pro vytvoření nového, koherentního celku nebo pro vytvoření originálního produktu.
V matematice si žák potřebuje zapamatovat určitá pravidla, vzorce, postupy. To samo o sobě je ale velice málo a poznatek založený jen na zapamatování většinou není použitelný. Uveďme to na příkladě, kdy žák vzorec pro Pythagorovu větu, ale neví, že jednotlivá písmena označují strany pravoúhlého trojúhelníku. Obvykle je přinejmenším potřebné, aby si žák postup nebo vzorec vyzkoušel na několika konkrétních příkladech a pochopil ho. Tyto dvě úrovně tedy dle mého pohledu nelze v matematice oddělovat a je nutné je sledovat ruku v ruce.
Aplikace přichází většinou tehdy, když je matematická situace vložena do určitého kontextu, obvykle ve formě slovní úlohy, a žák má poznat postup, který se vyžaduje. Aby se jednalo skutečně o aplikaci, je potřeba, aby se úloha zaměřovala na jeden jev a nebyla komplikována dalšími zatěžujícími okolnostmi. Pokud úloha obsahuje více různých podúloh, které je potřeba vyřešit, nebo je řešení ztíženo jiným faktorem, jako je například antisignál, obvykle již úloha spadá do kategorie analýzy.
Ve výuce matematiky obvykle můžeme první dvě úrovně Bloomovy taxonomie stanovovat pomocí procedurálně zaměřených úloh, ve kterých má žák něco vypočítat. Jestliže chceme zjistit, zda žák dokáže matematické učivo aplikovat, nebo jej dokonce analyzovat, jako velmi vhodný nástroj jsou používány slovní úlohy. Ty totiž dávají matematický obsah do určitého kontextu a většinou v nich není explicitně sděleno, jakou operaci nebo postup má žák použít, to už má žák poznat na základě svého hlubšího porozumění učivu. Nejen tyto požadavky činí slovní úlohy náročné a jejich úspěšnost může být značně různá podle zvolených parametrů, které slovní úloha obsahuje.
Představení úloh pracovního listu
Jak již bylo výše zmíněno, pracovní list obsahoval 6 úloh. První úloha se třemi podúlohami byla z kategorie zapamatovat si a porozumět, další dvě úlohy z kategorie aplikovat, tři úlohy na analýzu jednoduché a jedna úloha na analýzu středně náročná. Úlohy ze střední analýzy byly voleny s přirozenými čísly, aby nebyly pro žáky dvojitě komplikované (z důvodu netypické slovní úlohy a z důvodu desetinných čísel).
- Vypočítej:
a) 0,625+2,334 b) 12,5+0,976 c) 3,582-2,214
- Maminka koupila 2,45 kg jablek, 3,8 kg banánů a 4 kg brambor. Vše naskládala do jedné tašky o hmotnosti 0,2 kg. Urči, jak těžkou tašku maminka nesla.
- Jeden litr benzinu má hmotnost 0,75 kg. Jakou hmotnost bude mít
- 10 l benzinu,
- 1 hl benzinu?
- Jaké číslo musíš přičíst k číslu 1,32, aby výsledek byl 9?
- Součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel je 69. Urči tato čísla.
- Součet dvou čísel je 80. Jeden sčítanec je o 19 větší než druhý sčítanec. Urči oba sčítance.
Úspěšnost žáků v úlohách
V pracovním listu žáci získali průměrně 56 % bodů, modus byl 67 %. Jedna žákyně získala 0 b a jedna žákyně měla 100% úspěšnost. Úspěšnost žáků v jednotlivých úlohách je uvedena v tabulce 1:
Tabulka 1 Úspěšnost žáků v jednotlivých úlohách pracovního listu
| Úloha | 1a | 1b | 1c | 2 | 3a | 3b | 4 | 5 | 6 |
| Úspěšnost (%) | 89 | 77 | 83 | 60 | 37 | 20 | 80 | 46 | 9 |
Když se podíváme na tyto celkové výsledky, vidíme, že nejvíce úspěšní byli žáci v procedurální úloze 1a a nejméně úspěšní byli ve středně náročné úloze na analýzu 6. Při dalším pohledu však můžeme zaznamenat, že procedurální úloha 1b měla menší úspěšnost než úloha na analýzu 4. Zdánlivě jednoduchá úloha na aplikaci 3a měla relativně nižší úspěšnost. U úlohy 3 je nutné poznamenat, že žáci neměli učivo ještě probrané. Úloha tak ale měla možnost zaměřit se na konceptuální porozumění desetinnému číslu – jestliže žák pochopí význam desetinného čísla, pak velice snadno přenese poznatky o násobení přirozených čísel číslem 10 nebo 100.
Chyby, kterých se žáci v oblasti desetinných čísel dopouštěli, byly nejčastěji z oblasti konceptuálního porozumění pojmu desetinného čísla. U sčítání čísel s různým počtem cifer se u některých žáků projevilo nepochopení významu a zápisu desetinného čísla. Žáci pak chybovali v tom, jak si čísla napsali pod sebe a které řády spolu sčítali. Někteří přenášeli poznatky z oboru přirozených čísel a čísla zarovnávali zprava. Méně častou chybou byla úplná ignorace desetinné čárky. Nezvládnutý koncept desetinného čísla se projevil při násobení číslem 10, kdy řada žáků úlohu nevyřešila kvůli neznalosti procedury.
Další chyby se vztahovaly k nedočtení zadání slovní úlohy, případně k tomu, že se žáci k zadání nevrátili poté, co obdrželi nějaký číselný výsledek. U úlohy 3 se projevilo to, že představa žáků desetinného čísla nebyla leckdy dostatečně silná na to, aby úlohu zvládli vyřešit bez znalosti algoritmu, například jen analogií s přirozenými čísly.
Diagnostické pracovní listy se nehodnotí známkou, žák si své výsledky může vyhodnotit a obodovat sám, případně řešení oboduje spolužák (partnerské hodnocení), čímž se dostáváme do předposledního patra Bloomovy taxonomie.
Pokud vás diagnostické pracovní listy zaujaly a chtěli byste celou sadu osmi pracovních listů, můžete je zakoupit na stránce https://www.ucitelnice.cz/produkt/45750.
Zpětná vazba paní učitelky, v jejichž třídách intervence probíhala
Spolupráce s doktorkou Budínovou začala v březnu 2024. Důkladněji jsme se zaměřily na využití gradovaných úloh v pátém ročníku. Žáci V.A a V.C naší ZŠ pracovali 1x týdně na testovací baterii, která obsahovala 6 úloh. Úlohy byly různé obtížnosti, od zcela elementárních až po úlohy vyžadující již pokročilejší myšlenkové postupy, vždy však na úrovni učiva 5. ročníku. Na vypracování 6 úloh měli žáci 20 minut, zbytek hodiny byl věnován reflexi způsobů řešení.
Testování probíhalo po dobu 8 týdnů, úlohy se prolínaly s probíraným učivem v běžných hodinách matematiky (pojem desetinné číslo, jeho zobrazení na číselné ose, základní početní operace s desetinnými čísly). Typově se některé úlohy opakovaly, aby bylo možné sledovat posun ve strategiích řešení u jednotlivých žáků.
Ve vybrané skupině žáků byly velké rozdíly v rozumových schopnostech. Byli zde žáci nadprůměrně nadaní, ale i velice slabí. Bylo proto někdy náročné stanovit obtížnost tak, aby zde každý našel nějakou výzvu, ale zároveň nedocházelo k demotivaci slabých žáků.
V průběhu testování bylo možné vypozorovat velice časté chyby způsobené nepozorností, ať už se jednalo o chyby v jednoduchých aritmetických výpočtech, tak i chyby způsobené nepozorným čtením zadání. V testované skupině žáků bylo poměrně velké zastoupení dětí s vývojovými poruchami učení, kde byly tyto chyby nejvíce frekventované. V každém případě si však všichni žáci v každé sérii našli minimálně 1 úlohu, kde se cítili jistí a úlohu zdárně vyřešili. Při opakovaném zadání typově podobných úloh se pak úspěšnost významně zvyšovala.
Jsem přesvědčena, že proběhlé testování žáků pátých tříd na naší ZŠ bylo pro žáky přínosné, získali nové učební strategie a rozvíjeli své matematické myšlení. Při rozhovorech děti také oceňovaly návaznost úloh na situace z reálného života a propojení s probíranou látkou trošku jiným způsobem.
Literatura
Blažková, R. (2017). Didaktika matematiky se zaměřením na specifické poruchy učení. Masarykova univerzita.
Krathwohl, D. R. (2002). A Revision of Bloom’s Taxonomy: An Overview. Theory into practice, 41(4), 212–218.
Rendl, M., Vondrová, N., Hřibková, L., Jirotková, D., Kloboučková, J., Kvasz, L., … & Žalská, J. (2013). Kritická místa matematiky na základní škole očima učitelů. Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta.
Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., & Peled, I. (1989). Conceptual bases of arithmetic errors: The case of decimal fractions. Journal for research in mathematics education, 20(1), 8–27.
Steinle, V. (2004). Changes with age in students‘ misconceptions of decimal numbers. University of Melbourne, Department of Science and Mathematics Education. Takker, S., & Subramaniam, K. (2019). Knowledge demands in teaching decimal numbers. Journal of Mathematics Teacher Education, 22, 257-280.
